РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 250 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.6. Неправильные пирамиды, 4.2. Объем многогранника, 5.4. Другие задачи на построение сечений, 5.11. Сечение делит объём

Методы алгебры: Использование подобия, Свойства медиан треугольника

Задания на 10 баллов

В пирамиде FABC через медиану BK основания ABC и точке L бокового ребра AF (AL : LF = 1 : 3) проведена плоскость. Найдите отношение объема многогранника BCKLF к объему пирамиды ABLK.

Решение. Проведём высоты FN и LM пирамид FABC и $LABK.$ В треугольниках FAN и LAM угол $\angle FAN$   — общий, а углы $\angle AML$ и $\angle ANF$   — прямые, значит, эти треугольники подобны по двум углам, откуда:

$дробь: числитель: AL, знаменатель: AF конец дроби = дробь: числитель: ML, знаменатель: NF конец дроби равносильно дробь: числитель: AL, знаменатель: AL плюс LF конец дроби = дробь: числитель: ML, знаменатель: NF конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: AL, знаменатель: 4AL конец дроби = дробь: числитель: ML, знаменатель: NF конец дроби равносильно 4ML=NF.$ $дробь: числитель: AL, знаменатель: AF конец дроби = дробь: числитель: ML, знаменатель: NF конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: AL, знаменатель: AL плюс LF конец дроби = дробь: числитель: ML, знаменатель: NF конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: AL, знаменатель: 4AL конец дроби = дробь: числитель: ML, знаменатель: NF конец дроби равносильно 4ML=NF.$

Заметим, что:

$V_B_C_K_L_F=V_F_A_B_C минус V_A_L_B_K= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби FN умножить на S_A_B_C минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на S_A_B_K=$ $V_B_C_K_L_F=V_F_A_B_C минус V_A_L_B_K=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби FN умножить на S_A_B_C минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на S_A_B_K=$

$= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на S_A_B_C минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на S_A_B_K= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML левая круглая скобка 4S_A_B_C минус S_A_B_K правая круглая скобка .$ $= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на S_A_B_C минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на S_A_B_K=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML левая круглая скобка 4S_A_B_C минус S_A_B_K правая круглая скобка .$

Так как BK  — медиана треугольника ABC, то $S_A_B_C=2S_A_B_K.$ Тогда:

$V_B_C_K_L_F= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на 4S_A_B_C минус S_A_B_K= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на 7S_A_B_K.$ $V_B_C_K_L_F= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на 4S_A_B_C минус S_A_B_K=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на 7S_A_B_K.$ $V_B_C_K_L_F=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на 4S_A_B_C минус S_A_B_K=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на 7S_A_B_K.$

Найдем отношение объёмов:

$дробь: числитель: V_B_C_K_L_F, знаменатель: V_A_L_B_K конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на 7S_A_B_K, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ML умножить на S_A_B_K конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 1 конец дроби .$

Ответ: 7:1.

250

7:1.

Методы алгебры: Использование подобия, Свойства медиан треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	250	7:1.