РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 348 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 4.10. Системы показательных уравнений

Задания на 8 баллов

Решите систему уравнений $система выражений 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби ,2 в степени левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец системы .$

Решение. Упростим и решим два уравнения системы по отдельности:

$система выражений 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби ,2 в степени левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец системы равносильно система выражений 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби ,x плюс y= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби ,x= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус y. конец системы$ $система выражений 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби ,2 в степени левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби ,x плюс y= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби ,x= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус y. конец системы$

Решим первое уравнение системы, используя второе:

$4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби равносильно 4 в кубе в степени м инус в степени x плюс 4 в кубе в степени м инус в степени y =33 равносильно$
$равносильно 4 в степени левая круглая скобка y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 4 в кубе в степени м инус в степени y =33 равносильно$ $4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 33, знаменатель: 64 конец дроби равносильно$
$равносильно 4 в кубе в степени м инус в степени x плюс 4 в кубе в степени м инус в степени y =33 равносильно$
$равносильно 4 в степени левая круглая скобка y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 4 в кубе в степени м инус в степени y =33 равносильно$

$равносильно 4 в степени левая круглая скобка y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 4 в степени y конец дроби =33 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 в степени y минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 4 в степени y конец дроби =33.$

Пусть $t=4 в степени y ,$ тогда:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t минус дробь: числитель: 64, знаменатель: t конец дроби =33 равносильно t в квадрате минус 66t плюс 128=0 равносильно совокупность выражений t=64,t=2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t минус дробь: числитель: 64, знаменатель: t конец дроби =33 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 66t плюс 128=0 равносильно совокупность выражений t=64,t=2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t минус дробь: числитель: 64, знаменатель: t конец дроби =33 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 66t плюс 128=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t=64,t=2. конец совокупности .$

Вернемся к исходным переменным и получим:

$совокупность выражений 4 в степени y =64,4 в степени y =2 конец совокупности . равносильно 9 в степени y =3 равносильно совокупность выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y=3. конец совокупности .$

Подставим значение найденной неизвестной во второе уравнение системы:

$совокупность выражений система выражений y=3,x= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус y конец системы . система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус y, конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений y=3,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x=3. конец системы . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 3, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,3 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

348

$левая фигурная скобка левая круглая скобка 3, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,3 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 4.10. Системы показательных уравнений

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	348	$левая фигурная скобка левая круглая скобка 3, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,3 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$