РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 40 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Методы алгебры: Свойства биссектрис треугольника

Задания на 10 баллов

Апофема правильной треугольной пирамиды $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ см. Центр вписанного в пирамиду шара отстоит от вершины пирамиды на расстоянии, вдвое больше радиуса шара. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Шар с центром в точке O вписан в пирамиду PABC. PM  — апофема пирамиды, AM  — высота правильного треугольника ABC. Тогда MO  — биссектриса угла PMH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник PHM. $PM = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ см и PO = 2HO.

По теореме о биссектрисе треугольника $дробь: числитель: PO, знаменатель: OH конец дроби = дробь: числитель: PM, знаменатель: HM конец дроби ,$ отсюда $HM = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ см.

Точка H  — центр правильного треугольника ABC, тогда $AM = 3HM = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ см и $AB = дробь: числитель: 2AM, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = 3$ см.

Найдём площадь боковой поверхности:

$S_бок = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на P_осн умножить на PM = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ см².

Ответ: $дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ см².

$дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ см².

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Методы алгебры: Свойства биссектрис треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	40	$дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ см².