Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дан конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го от­но­сит­ся к вы­со­те как 1 : ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми бо­ко­вых гра­ней пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, впи­сан­ной в конус.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен a см, тогда OP=a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та см и AC=a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та см, так как ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — впи­сан­ный в окруж­ность пра­виль­ный тре­уголь­ник. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PAO по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

PA в квад­ра­те =PO в квад­ра­те плюс AO в квад­ра­те рав­но­силь­но PA в квад­ра­те =2a в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те рав­но­силь­но PA в квад­ра­те =3a в квад­ра­те рав­но­силь­но PA=a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та см.

За­ме­тим, что

PA=AC=AB=CB=PB=PC,

то есть, грани пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Пусть точка M  — се­ре­ди­на ребра PC, от­ку­да AM= дробь: чис­ли­тель: 3a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и \angle AMB равен углу между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMB: ко­си­нус \angle AMB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да \angle AMB= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби }.

 

Ответ: \angle AMB= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби }.

Классификатор алгебры: 1.6. Угол между плос­ко­стя­ми, 3.10. Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, 3.17. Конус, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025