РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 430 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.6. Угол между плоскостями, 3.10. Правильная треугольная призма, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Задания на 10 баллов

Дан конус, радиус основания которого относится к высоте как $1 : корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Найдите угол между плоскостями боковых граней правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.

Решение. Пусть радиус основания конуса равен a см, тогда $OP=a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см$ и $AC=a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см,$ так как основание пирамиды  — вписанный в окружность правильный треугольник. В прямоугольном треугольнике $PAO$ по теореме Пифагора:

$PA в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно PA в квадрате =2a в квадрате плюс a в квадрате равносильно$
$равносильно PA в квадрате =3a в квадрате равносильно PA=a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см.$ $PA в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно$
$равносильно PA в квадрате =2a в квадрате плюс a в квадрате равносильно PA в квадрате =3a в квадрате равносильно$
$равносильно PA=a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см.$ $PA в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно$
$равносильно PA в квадрате =2a в квадрате плюс a в квадрате равносильно$
$равносильно PA в квадрате =3a в квадрате равносильно PA=a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см.$ $PA в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно$
$равносильно PA в квадрате =2a в квадрате плюс a в квадрате равносильно$
$равносильно PA в квадрате =3a в квадрате равносильно$
$равносильно PA=a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см.$

Заметим, что

$PA=AC=AB=CB=PB=PC,$

то есть, грани пирамиды  — правильные треугольники. Пусть точка M  — середина ребра PC, откуда $AM= дробь: числитель: 3a, знаменатель: 2 конец дроби$ и $\angle AMB$ равен углу между боковыми гранями пирамиды. По теореме косинусов в треугольнике AMB: $косинус \angle AMB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $\angle AMB= арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби }.$

Ответ: $\angle AMB= арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби }.$

430

$\angle AMB= арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби }.$

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	430	$\angle AMB= арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби }.$