РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 436 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.20. Взаимное расположение шара и плоскости

Задания на 6 баллов

Шар касается всех сторон ромба. Центр шара удален от вершин ромба на 9 и 11 см, а от плоскости ромба на 7 см. Найдите радиус шара.

Решение. В прямоугольном треугольнике AOB по теореме Пифагора:

$OB в квадрате =AO в квадрате плюс AB в квадрате равносильно AB в квадрате =11 в квадрате минус 7 в квадрате равносильно$
$равносильно AB в квадрате =72 равносильно AB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$ $OB в квадрате =AO в квадрате плюс AB в квадрате равносильно$
$равносильно AB в квадрате =11 в квадрате минус 7 в квадрате равносильно AB в квадрате =72 равносильно$
$равносильно AB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$ $OB в квадрате =AO в квадрате плюс AB в квадрате равносильно$
$равносильно AB в квадрате =11 в квадрате минус 7 в квадрате равносильно$
$равносильно AB в квадрате =72 равносильно AB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$

В прямоугольном треугольнике PAO по теореме Пифагора:

$OP в квадрате =AO в квадрате плюс AP в квадрате равносильно AP в квадрате =9 в квадрате минус 7 в квадрате равносильно$
$равносильно AP в квадрате =32 равносильно AP=4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$ $OP в квадрате =AO в квадрате плюс AP в квадрате равносильно$
$равносильно AP в квадрате =9 в квадрате минус 7 в квадрате равносильно AP в квадрате =32 равносильно$
$равносильно AP=4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$ $OP в квадрате =AO в квадрате плюс AP в квадрате равносильно$
$равносильно AP в квадрате =9 в квадрате минус 7 в квадрате равносильно$
$равносильно AP в квадрате =32 равносильно AP=4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$

Так как   — точка пересечения диагоналей ромба, то площадь ромба:

$S_KTPB=4S_PAB=4 умножить на дробь: числитель: AP умножить на AD, знаменатель: 2 конец дроби =2 умножить на 24 умножить на 2=96см в квадрате .$ $S_KTPB=4S_PAB=4 умножить на дробь: числитель: AP умножить на AD, знаменатель: 2 конец дроби =$
$=2 умножить на 24 умножить на 2=96см в квадрате .$ $S_KTPB=4S_PAB=$
$=4 умножить на дробь: числитель: AP умножить на AD, знаменатель: 2 конец дроби =$
$=2 умножить на 24 умножить на 2=96см в квадрате .$

В прямоугольном треугольнике PAB по теореме Пифагора:

$PB в квадрате =AB в квадрате плюс AP в квадрате равносильно PB в квадрате = левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно PB в квадрате =104 равносильно PB=2 корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента см.$ $PB в квадрате =AB в квадрате плюс AP в квадрате равносильно$
$равносильно PB в квадрате = левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно PB в квадрате =104 равносильно PB=2 корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента см.$ $PB в квадрате =AB в квадрате плюс AP в квадрате равносильно$
$равносильно PB в квадрате = левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно PB в квадрате =104 равносильно$
$равносильно PB=2 корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента см.$

Найдем радиус круга, вписанного в ромб:

$pr=S_KTPB равносильно r= дробь: числитель: S_KTPB, знаменатель: p конец дроби равносильно$
$равносильно r= дробь: числитель: 96, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби равносильно r= дробь: числитель: 12 корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби см.$ $pr=S_KTPB равносильно r= дробь: числитель: S_KTPB, знаменатель: p конец дроби равносильно$
$равносильно r= дробь: числитель: 96, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно r= дробь: числитель: 12 корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби см.$

В прямоугольном треугольнике ANO по теореме Пифагора:

$NO в квадрате =AN в квадрате плюс AO в квадрате равносильно NO в квадрате =r в квадрате плюс 7 в квадрате равносильно$
$равносильно NO в квадрате = дробь: числитель: 144 умножить на 26, знаменатель: 169 конец дроби плюс 49 равносильно NO в квадрате = дробь: числитель: 288, знаменатель: 13 конец дроби плюс 49 равносильно$ $NO в квадрате =AN в квадрате плюс AO в квадрате равносильно NO в квадрате =r в квадрате плюс 7 в квадрате равносильно$
$равносильно NO в квадрате = дробь: числитель: 144 умножить на 26, знаменатель: 169 конец дроби плюс 49 равносильно$
$равносильно NO в квадрате = дробь: числитель: 288, знаменатель: 13 конец дроби плюс 49 равносильно$ $NO в квадрате =AN в квадрате плюс AO в квадрате равносильно$
$равносильно NO в квадрате =r в квадрате плюс 7 в квадрате равносильно$
$равносильно NO в квадрате = дробь: числитель: 144 умножить на 26, знаменатель: 169 конец дроби плюс 49 равносильно$
$равносильно NO в квадрате = дробь: числитель: 288, знаменатель: 13 конец дроби плюс 49 равносильно$

$равносильно NO в квадрате = дробь: числитель: 925, знаменатель: 13 конец дроби равносильно NO= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 25 умножить на 37 умножить на 13 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби равносильно$
$равносильно NO= дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 481 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби см.$ $равносильно NO в квадрате = дробь: числитель: 925, знаменатель: 13 конец дроби равносильно$
$равносильно NO= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 25 умножить на 37 умножить на 13 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби равносильно$
$равносильно NO= дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 481 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби см.$

Ответ: $NO= дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 481 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби см.$

436

$NO= дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 481 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби см.$

Классификатор алгебры: 3.20. Взаимное расположение шара и плоскости

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	436	$NO= дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 481 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби см.$