РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 56 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.3. Угол между плоскостями

Задания на 6 баллов

Равнобедренные треугольники ABC и BDC, каждый из которых имеет основание BC, не лежат в одной плоскости. Их высоты, проведенные к основанию, равны 3 и 8 см, а расстояние между точками A и D равны 7 см. Найдите градусную меру угла между плоскостями ABC и BDC.

Решение. Так как треугольники ABC и BDC равнобедренные, то их высоты AM и DM одновременно являются и медианами по свойству равнобедренных треугольников. Тогда точка M, середина стороны BC, общая для AM и DM.

Рассмотрим угол между плоскостями ABC и BDC: $AM\perp BC DM\perp BC,AM принадлежит левая круглая скобка ABC правая круглая скобка ,DM принадлежит левая круглая скобка DBC правая круглая скобка .$ Тогда угол AMD является линейным углом двугранного угла между плоскостями ABC и BDC.

Применим теорему косинусов в треугольнике ADM:

$AD в квадрате =AM в квадрате плюс DM в квадрате минус 2AM умножить на DM умножить на косинус AMD равносильно$

$равносильно 7 в квадрате =3 в квадрате плюс 8 в квадрате минус 2 умножить на 3 умножить на 8 умножить на косинус AMD равносильно косинус AMD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Так как AMD  — один из углов треугольника, то он положителен и не превосходит $180 градусов,$ значит, $\angle AMD=60 градусов.$ Тогда градусная мера угла между плоскостями ABC и BDC равна $60 градусов.$

Ответ: $60 градусов.$

Классификатор алгебры: 1.3. Угол между плоскостями

Методы алгебры: Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	56	60