Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 56
i

Рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки ABC и BDC, каж­дый из ко­то­рых имеет ос­но­ва­ние BC, не лежат в одной плос­ко­сти. Их вы­со­ты, про­ве­ден­ные к ос­но­ва­нию, равны 3 и 8 см, а рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и D равны 7 см. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла между плос­ко­стя­ми ABC и BDC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как тре­уголь­ни­ки ABC и BDC рав­но­бед­рен­ные, то их вы­со­ты AM и DM од­но­вре­мен­но яв­ля­ют­ся и ме­ди­а­на­ми по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда точка M, се­ре­ди­на сто­ро­ны BC, общая для AM и DM.

Рас­смот­рим угол между плос­ко­стя­ми ABC и BDC: AM\perp BC DM\perp BC,AM при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка ,DM при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка DBC пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда угол AMD яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и BDC.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ADM:

AD в квад­ра­те =AM в квад­ра­те плюс DM в квад­ра­те минус 2AM умно­жить на DM умно­жить на ко­си­нус AMD рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 7 в квад­ра­те =3 в квад­ра­те плюс 8 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 3 умно­жить на 8 умно­жить на ко­си­нус AMD рав­но­силь­но ко­си­нус AMD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Так как AMD  — один из углов тре­уголь­ни­ка, то он по­ло­жи­те­лен и не пре­вос­хо­дит 180 гра­ду­сов, зна­чит, \angle AMD=60 гра­ду­сов. Тогда гра­дус­ная мера угла между плос­ко­стя­ми ABC и BDC равна 60 гра­ду­сов.

 

Ответ: 60 гра­ду­сов.

Классификатор алгебры: 1.3. Угол между плос­ко­стя­ми
Методы алгебры: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025