Конус вписан в пирамиду, основанием которой является равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 8 см. Объем конуса равен см3. Найдите угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания.
Трапеция ABCD равнобедренная, в которой BC = 2 см, AD = 8 см. Так как трапеция описана около окружности основания конуса, то AB + CD = BC + AD, но AB = CD, тогда
см.
Найдём площадь трапеции ABCD и радиус вписанной в неё окружности. Так как HM = BC и AH = MD, то
см.
Из треугольника ABH по теореме Пифагора находим = 4 см. Тогда площадь трапеции
см2.
По формуле S = p · r найдём радиус основания конуса
см.
По формуле объёма конуса найдём высоту:
см.
Точка K — точка касания окружности, вписанной в трапецию ABCD, с боковой стороны трапеции. Тогда угол PKO является углом наклона боковой грани ABP к основанию пирамиды. Треугольник POK прямоугольный, тогда
Так как все боковые грани пирамиды равнонаклонены к её основанию, то угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания равен 60°.
Ответ: 60°.