Конус описан около пирамиды PABCD, основанием которой является трапеция ABCD. Известно, что AB=BC=CD=3 см и один из углов трапеции равен 60°. Объем конуса равен см3. Найдите угол наклона боковых ребер пирамиды к плоскости основания.
Рассмотрим трапецию ABCD, вписанную в основание конуса. Так как AB = BC, то по свойству равнобедренного треугольника угол BAC равен углу BCA. Поскольку BC || AD, то угол DAC равен углу BCA, то есть угол BAC равен углу CAD, а угол BAD равен 60°, тогда угол CAD = 60° : 2 = 30°.
В треугольнике CAD угол ACD = 180° − (60° + 30°) = 90°, то есть треугольник CAD прямоугольный, его гипотенуза AD является диаметром окружности основания конуса.
Так как угол CAD = 30° и CD = 3 см, то AD = 2 · CD = 6 см, то есть радиус основания конуса равен 3 см.
По формуле объёма конуса найдём высоту:
см.
Треугольник POA прямоугольный, тогда
Так как все боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к её основанию, то угол наклона боковых рёбер пирамиды к плоскости основания равен 45°.
Ответ: 45°.