Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В треугольную пирамиду, все ребра которой равны между собой, вписан шар, радиус которого равен 
см. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Пусть шар с центром в точке О вписан в треугольную пирамиду. Тогда отрезок МО — биссектриса треугольника PMH. Точка H — центр треугольника ABC, тогда
где a — ребро пирамиды. Апофема PM — высота треугольника PBC, значит, 
По теореме Пифагора в треугольнике PMH:
Воспользуемся теоремой о биссектрисе угла в треугольнике PHM:
Так как 
Найдем объем пирамиды:
Ответ:
Классификатор алгебры: 3.6. Неправильные пирамиды, 3.19. Шар, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.2. Объем многогранника
Методы алгебры: Свойства биссектрис треугольника, Теорема Пифагора