РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 69 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции

Задания на 9 баллов

Для функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в квадрате левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ найдите промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы функции (если они существуют).

Решение. Найдем производную функции:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x в квадрате левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус 2x в кубе плюс x в квадрате плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '= минус 6x в квадрате плюс 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x в квадрате левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус 2x в кубе плюс x в квадрате плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= минус 6x в квадрате плюс 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка минус x в квадрате левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус 2x в кубе плюс x в квадрате плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= минус 6x в квадрате плюс 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Решим уравнение f '(x) = 0:

$минус 12x в квадрате плюс 4x плюс 1=0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$

Функция f(x) возрастает на $x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;$ убывает на $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;\; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка$ и на $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;\; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Точка минимума: $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ точка максимума: $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Найдем максимума и минимума функции:

$f_max=f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =$
$= минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка :2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 1 минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

$f_min=f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =$
$= минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка :2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 49, знаменатель: 108 конец дроби .$ $f_min=f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =$
$= минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка :2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 49, знаменатель: 108 конец дроби .$

Ответ : промежуток возрастания: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;\; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;$ промежутки убывания: $левая круглая скобка минус бесконечность ;\; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка , левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;\; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ максимум функции: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;$ минимум функции: $дробь: числитель: 49, знаменатель: 108 конец дроби .$

: промежуток возрастания: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;\; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;$ промежутки убывания: $левая круглая скобка минус бесконечность ;\; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка , левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;\; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ максимум функции: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;$ минимум функции: $дробь: числитель: 49, знаменатель: 108 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	69	: промежуток возрастания: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;\; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;$ промежутки убывания: $левая круглая скобка минус бесконечность ;\; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка , левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;\; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ максимум функции: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;$ минимум функции: $дробь: числитель: 49, знаменатель: 108 конец дроби .$