PDF-версии: 
Найдите полную поверхность правильной треугольной призмы, вписанной в шар радиуса 
которая имеет наибольшую боковую поверхность.
Решение. Пусть ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, M и M1 — центры ее оснований, O — середина отрезка MM1. Поскольку треугольники MOA, MOB, ... MOC1 равны по двум катетам, точка O равноудалена от всех вершин призмы и потому является ее центром описанного шара.
Обозначим длину ребра основания призмы за 6x, тогда высота в основании равна 
а 
Из треугольника C1M1O находим
поэтому высота призмы равна 
Значит площадь ее боковой поверхности равна
Найдем максимум этого выражения. Обозначая временно 
получим под корнем 
что достигает максимума при 
(вершина параболы). Значит, 
откуда 
AB = 1 и 
Площадь полной поверхности этой призмы равна
Ответ: 