Ре­ше­ние. Пусть точка O  — про­ек­ция вер­ши­ны T на плос­кость ABCD. Пер­пен­ди­ку­ля­ры из точек O и T на каж­дое из ребер ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды па­да­ют в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Рас­смот­рим тре­уголь­ник MOT, где M  — любая из этих точек. тогда угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и плос­ко­стью ос­но­ва­ния это угол Сле­до­ва­тель­но, все эти пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по об­ще­му ка­те­ту TO и остро­му углу, по­это­му вто­рые их ка­те­ты тоже равны. Итак, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тра­пе­ции и по­это­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK к ос­но­ва­нию AD тра­пе­ции. Тогда BCKH  — пря­мо­уголь­ник, а по­сколь­ку то

Обо­зна­чим тогда

По­сколь­ку ABCD  — опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Зна­чит, Решим это урав­не­ние. По­лу­чим:

По­сколь­ку рас­сто­я­ния от O до ос­но­ва­ний тра­пе­ции равны, они равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть 1.

В тре­уголь­ни­ке MOT те­перь на­хо­дим

Это вы­со­та пи­ра­ми­ды. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

Окон­ча­тель­но, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 8.