Основанием четырехугольной пирамиды TABCD является равнобедренная трапеция,
Пусть точка O — проекция вершины T на плоскость ABCD. Перпендикуляры из точек O и T на каждое из ребер основания пирамиды падают в одну точку по теореме о трех перпендикулярах. Рассмотрим треугольник MOT, где M — любая из этих точек. тогда угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания это угол Следовательно, все эти прямоугольные треугольники равны по общему катету TO и острому углу, поэтому вторые их катеты тоже равны. Итак, точка O равноудалена от всех сторон трапеции и поэтому является ее центром вписанной окружности.
Проведем перпендикуляры BH и CK к основанию AD трапеции. Тогда BCKH — прямоугольник, а поскольку то
Обозначим тогда
Поскольку ABCD — описанный четырехугольник, суммы его противоположных сторон равны. Значит, Решим это уравнение. Получим:
Поскольку расстояния от O до оснований трапеции равны, они равны половине высоты трапеции, то есть 1.
В треугольнике MOT теперь находим
Это высота пирамиды. Площадь основания пирамиды равна
Окончательно, объем пирамиды равен
Ответ: 8.