РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 924 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.2. Чётность, нечётность, ограниченность, периодичность функции, 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 15.8. Применение производной к исследованию функции

Задания на 7 баллов

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в квадрате плюс 9, знаменатель: x конец дроби .$

Решение. Возьмем производную данной функции:

$левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс 9, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 9 правая круглая скобка 'x минус x' левая круглая скобка x в квадрате плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2x умножить на x минус x в квадрате минус 9, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате минус 9, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате конец дроби .$ $левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс 9, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 9 правая круглая скобка 'x минус x' левая круглая скобка x в квадрате плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2x умножить на x минус x в квадрате минус 9, знаменатель: x в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: x в квадрате минус 9, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате конец дроби .$ $левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс 9, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка '=$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 9 правая круглая скобка 'x минус x' левая круглая скобка x в квадрате плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2x умножить на x минус x в квадрате минус 9, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате минус 9, знаменатель: x в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате конец дроби .$

Это выражение положительно при $x меньше минус 3$ и при $x больше 3,$ а отрицательно при $x принадлежит левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка .$ Поэтому изначальная функция возрастает на $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка$ и на $левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка$ и убывает на $левая квадратная скобка минус 3; 0 правая круглая скобка$ и на $левая круглая скобка 0; 3 правая квадратная скобка .$

При $x=0$ функция не определена.

Точка $x= минус 3$ будет для функции точкой максимума, а точка $x=3$ будет для функции точкой минимума (это видно из монотонности функции по разные стороны от данных точек), при этом $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус 6,$ $f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =6.$

Ответ: функция возрастает на $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка$ и на $левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка$ и убывает на $левая квадратная скобка минус 3; 0 правая круглая скобка$ и на $левая круглая скобка 0; 3 правая квадратная скобка ,$ $x_max= минус 3,$ $x_min=3.$

924

функция возрастает на $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка$ и на $левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка$ и убывает на $левая квадратная скобка минус 3; 0 правая круглая скобка$ и на $левая круглая скобка 0; 3 правая квадратная скобка ,$ $x_max= минус 3,$ $x_min=3.$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	924	функция возрастает на $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка$ и на $левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка$ и убывает на $левая квадратная скобка минус 3; 0 правая круглая скобка$ и на $левая круглая скобка 0; 3 правая квадратная скобка ,$ $x_max= минус 3,$ $x_min=3.$