Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 944
i

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 15 см и 9 см, пло­щадь ос­но­ва­ния 108 см2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если мень­шая его диа­го­наль  — 13 см.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, умно­жен­но­му на синус угла между ними, по­лу­ча­ем, что 108=15 умно­жить на 9 умно­жить на синус альфа , от­ку­да

синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 108, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , ко­си­нус альфа =\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус синус в квад­ра­те альфа конец ар­гу­мен­та =\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби конец ар­гу­мен­та =\pm дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Для од­но­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма сле­ду­ет взять плюс, для дру­го­го минус  — они как раз в сумме дают 180 гра­ду­сов .

Най­дем тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов диа­го­на­ли этого па­рал­ле­ло­грам­ма:

d= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 в квад­ра­те плюс 15 в квад­ра­те \pm 2 умно­жить на 9 умно­жить на 15 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 81 плюс 225\pm 162 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 306\pm162 конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, одна из его диа­го­на­лей равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 468 конец ар­гу­мен­та боль­ше 13, а дру­гая ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 конец ар­гу­мен­та =12.

Все диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми тре­уголь­ни­ков, ка­те­та­ми ко­то­рых будут бо­ко­вое ребро приз­мы и одна из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим длину бо­ко­во­го ребра за x, тогда x в квад­ра­те плюс 12 в квад­ра­те = 13 в квад­ра­те , от­ку­да x в квад­ра­те = 169 минус 144 = 25, то есть x = 5. Ясно, что ис­поль­зо­вать вто­рую диа­го­наль ос­но­ва­ния нель­зя.

Тогда бо­ко­вая по­верх­ность со­сто­ит из че­ты­рех пря­мо­уголь­ни­ков общей пло­ща­дью

S = 2 умно­жить на 5 умно­жить на 9 плюс 2 умно­жить на 5 умно­жить на 15=10 левая круг­лая скоб­ка 9 плюс 15 пра­вая круг­лая скоб­ка =240.

Ответ: 240.


Аналоги к заданию № 944: 954 Все

Классификатор алгебры: 3.16. Ци­линдр, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние три­го­но­мет­рии, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025