Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, S  — его вер­ши­на, O₁ и O₂  — точки, через ко­то­рые про­ве­де­ны плос­ко­сти. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с про­ве­ден­ны­ми двумя от­рез­ка­ми  — диа­мет­ра­ми се­че­ний ко­ну­са двумя плос­ко­стя­ми. Эти се­че­ния пред­став­ля­ют собой круги, а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков в осе­вом се­че­нии сле­ду­ет, что их ра­ди­у­сы про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1, 2, 3 (3 для из­на­чаль­но­го ко­ну­са).

Рас­смот­рим те­перь три ко­ну­са с вер­ши­ной в S и ос­но­ва­ни­я­ми  — кру­га­ми (два се­че­ния и из­на­чаль­ное ос­но­ва­ние). Пусть ра­ди­ус из­на­чаль­но­го ко­ну­са равен а вы­со­та тогда его объем со­став­ля­ет

Ана­ло­гич­но, объем ма­лень­ко­го ко­ну­са со­став­ля­ет а сред­не­го по­это­му объем сред­ней части равен

Ответ: 21.

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, S  — его вер­ши­на, O₁ и O₂  — точки, через ко­то­рые про­ве­де­ны плос­ко­сти. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с про­ве­ден­ны­ми двумя от­рез­ка­ми  — диа­мет­ра­ми се­че­ний ко­ну­са двумя плос­ко­стя­ми. Эти се­че­ния пред­став­ля­ют собой круги, а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков в осе­вом се­че­нии сле­ду­ет, что их ра­ди­у­сы про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1, 2, 3 (3 для из­на­чаль­но­го ко­ну­са).

Рас­смот­рим те­перь три ко­ну­са с вер­ши­ной в S и ос­но­ва­ни­я­ми  — кру­га­ми (два се­че­ния и из­на­чаль­ное ос­но­ва­ние). Пусть ра­ди­ус из­на­чаль­но­го ко­ну­са равен а вы­со­та тогда его объем со­став­ля­ет

Ана­ло­гич­но, объем ма­лень­ко­го ко­ну­са со­став­ля­ет а сред­не­го по­это­му объем сред­ней части равен

Ответ: 28.

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны. Обо­зна­чим O₁B₁ за x, тогда

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна:

Наи­боль­шее зна­че­ние вто­рой мно­жи­тель при­ни­ма­ет при и равно оно по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра со­ста­вит:

Ответ:

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны. Обо­зна­чим O₁B₁ за x, тогда

Объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем:

Ответ:

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны, при­чем Зна­чит, и тре­уголь­ник ASB рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°. Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са за R, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра за x. Тогда вы­со­та ко­ну­са равна:

ана­ло­гич­но, и вы­со­та ци­лин­дра равна Зна­чит, объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель  — кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна:

по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра наи­боль­ше­го объ­е­ма

Зна­чит, от­но­ше­ние их равно:

Ответ: 9 : 2.

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO1B₁ и SOB по­доб­ны, при­чем Кроме того, тре­уголь­ник ASB рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°, по­это­му диа­метр ос­но­ва­ния равен 12, а ра­ди­ус 6. Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра за x. Тогда вы­со­та ко­ну­са равна:

ана­ло­гич­но, и вы­со­та ци­лин­дра равна Зна­чит, объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель  — кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна:

по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра наи­боль­ше­го объ­е­ма:

Зна­чит от­но­ше­ние их равно:

Ответ: 2 : 9.

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 5 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ: