Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SAB и опи­сан­ную во­круг него окруж­ность (боль­шая окруж­ность дан­ной сферы). По усло­вию тогда

Тре­уголь­ник SOB пря­мо­уголь­ный, тогда имеем:

Най­дем объем ко­ну­са по фор­му­ле

По усло­вию тогда OB  =  3 см, AB  =  2OB  =  6 см.

По след­ствию из тео­ре­мы си­ну­сов тогда

По фор­му­ле пло­ща­ди опи­сан­ной сферы по­лу­чим:

Ответ:

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APC − осе­вое се­че­ние ко­ну­са

(). Най­дем по­ло­щадь тре­уголь­ни­ка APK:

Тогда:

От­сю­да По тео­ре­ме си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка APK:

Най­дем те­перь пло­щадь сферы по фор­му­ле :

Ответ:

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APK  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са

По тео­ре­ме си­ну­сов: От­сю­да:

Длин­на OH равна рас­сто­я­нию от цен­тра сферы до точки C, тогда:

Ответ:

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник, при­мем его сто­ро­ну за a. По усло­вию дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°, зна­чит, Тре­уголь­ник AKB  — рав­но­бед­рен­ный (AK  =  BK), тогда Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BKC. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Тогда:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PMC, в ко­то­ром и тогда Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, то H  — центр тре­уголь­ни­ка, от­ку­да

Из тре­уголь­ни­ка MHP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3, тогда:

Вы­со­та ко­ну­са, опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды, равна вы­со­те, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су опи­сан­но­го около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са, где и h  =  3:

Ответ: 72π.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, при­мем его сто­ро­ну за a. По усло­вию дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°, зна­чит, Тре­уголь­ник DKB  — рав­но­бед­рен­ный, DK  =  BK, тогда Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник DKC. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Тогда

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PMC, в ко­то­ром и тогда Так как ABC квад­рат, то H  — центр квад­ра­та, от­ку­да

Из тре­уголь­ни­ка MHP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 5, тогда:

Вы­со­та ко­ну­са, впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду, равна вы­со­те, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су впи­сан­ной в квад­рат ABCD окруж­но­сти. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са, где r  =  5, h  =  5:

Ответ:

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем 2r и углом 30° при ос­но­ва­нии, зна­чит, угол при вер­ши­не равен По тео­ре­ме си­ну­сов бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, то есть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, равна:

Пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна:

от­ку­да

Ра­ди­ус шара, опи­сан­но­го около ко­ну­са, равен ра­ди­у­су круга, опи­сан­но­го около осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са. Най­дем этот ра­ди­ус по из­вест­ной фор­му­ле:

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна:

Ответ:

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем 2r и углом 30° при вер­ши­не, зна­чит, угол при ос­но­ва­нии равен По тео­ре­ме си­ну­сов бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, то есть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, равна:

Ра­ди­ус шара, опи­сан­но­го около ко­ну­са, равен ра­ди­у­су круга, опи­сан­но­го около осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са. Най­дем этот ра­ди­ус также по тео­ре­ме си­ну­сов:

от­ку­да

Ясно, что центр шара лежит на оси ко­ну­са, при­чем на от­рез­ке SH, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABS ост­ро­уголь­ный. Зна­чит, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равно:

Ответ:

Рас­смот­рим се­че­ние шара плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы. Это круг, в ко­то­рый впи­сан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 6. По тео­ре­ме си­ну­сов его ра­ди­ус можно найти по фор­му­ле:

Пусть O₁  — центр этого круга, O  — центр шара, A  — одна из вер­шин приз­мы. Тогда тре­уголь­ник OO₁A  — пря­мо­уголь­ный и

Итак, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы равно 2, зна­чит, вы­со­та приз­мы равна Тогда объем приз­мы равен:

Ответ:

Рас­смот­рим се­че­ние шара плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы. Это круг, в ко­то­рый впи­сан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 3. По тео­ре­ме си­ну­сов его ра­ди­ус можно найти по фор­му­ле:

Пусть O₁  — центр этого круга, O  — центр шара, A  — одна из вер­шин приз­мы. Тогда тре­уголь­ник OO₁A  — пря­мо­уголь­ный и

Итак, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы равно 3, зна­чит, вы­со­та приз­мы равна Тогда объем приз­мы равен:

Ответ: