Задание № 420 ![Добавить в вариант](/img/briefcase--plus.png)
![Сообщить об ошибке](/img/exclamation-white.png)
i
Двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды равен 120°. Высота пирамиды равна 5. Найдите объем конуса, вписанного в эту пирамиду.
Решение. ![](/get_file?id=10495)
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, примем его сторону за a. По условию двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды равен 120°, значит,
Треугольник DKB — равнобедренный, DK = BK, тогда
Воспользуемся теоремой синусов:
![дробь: числитель: KD, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби = дробь: числитель: BD, знаменатель: синус 120 градусов конец дроби равносильно дробь: числитель: KD, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби равносильно KD = дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .](https://reshu.by/formula/svg/97/975cb6e50b4f49c1e02a70c6436f66aa.svg)
Рассмотрим прямоугольный треугольник DKC. Воспользуемся теоремой синусов:
Тогда
Рассмотрим прямоугольный треугольник PMC, в котором
и
тогда
Так как ABC квадрат, то H — центр квадрата, откуда ![HM = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .](https://reshu.by/formula/svg/79/796d1a9cf391aa525daa990cd063585c.svg)
Из треугольника MHP по теореме Пифагора
По условию высота пирамиды равна 5, тогда:
![дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби = 5 равносильно a = 10.](https://reshu.by/formula/svg/5c/5c31707b6bc96105427469d9c402f4ee.svg)
Высота конуса, вписанного в пирамиду, равна высоте, а радиус основания конуса равен радиусу вписанной в квадрат ABCD окружности. Воспользуемся формулой объема конуса,
где r = 5, h = 5:
![V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на 5 в квадрате умножить на 5= дробь: числитель: 125 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .](https://reshu.by/formula/svg/77/779bf891450965afeb6ab223dff3368b.svg)
Ответ: ![дробь: числитель: 125 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .](https://reshu.by/formula/svg/83/83e0dfa5e39b1d248f7c412dee8ff6f9.svg)
Ответ: ![дробь: числитель: 125 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .](https://reshu.by/formula/svg/83/83e0dfa5e39b1d248f7c412dee8ff6f9.svg)