Всего: 8 1–8
Добавить в вариант
Постройте график производной функции 
Раскроем скобки:
Найдём 
:
График функции 
— прямая, пересекающая ось абсцисс в точке (2; 0) и ось ординат в точке (0; −4) (см. рис).
Постройте график производной функции 
Раскроем скобки:
Найдём :
График функции 
— прямая, пересекающая ось абсцисс в точке (−2; 0) и ось ординат в точке (0; 4).
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство 
функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При 
получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при 
и отрицательна при 
или 
Значит, функция убывает на промежутке 
возрастает на промежутке 
и снова убывает на промежутке 
Точка 
является точкой минимума функции, а точка 
— точкой максимума, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках 
и 
и отрицателен на промежутках 
и 
Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках 
и 
и выпукла вверх (вогнута) на промежутках 
и 
Точки 
являются точками перегиба, причем:
График функции изображен на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство
функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательно при или Значит, функция убывает на промежутке 
возрастает на промежутке и снова убывает на промежутке Точка является точкой минимума функции, а точка — точкой максимума, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках
и 
и отрицателен на промежутках 
и 
Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках и и выпукла вверх (вогнута) на промежутках и Точки 
являются точками перегиба, причем
График изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех 
Точек разрыва нет, но есть вертикальная асимптота при поскольку 
При 
получаем 
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот не будет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке Точка является точкой минимума функции, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Вторая производная больше нуля при всех допустимых x, значит, функция выпукла вверх.
График функции изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех
Точек разрыва нет, но есть вертикальная асимптота при поскольку 
При получаем 
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот не будет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при и отрицательна при Значит, функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке 
Точка является точкой минимума функции, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Вторая производная положительна при всех допустимых x, значит, функция выпукла вверх.
График изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот.
При получаем:
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка 
является точкой максимума функции, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Возьмем её вторую производную:
Она положительна при 
и отрицательна при 
или при 
Значит, функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при 
а точки 
и 
являются точками перегиба, причем
График функции изображён на рисунке.
Примечание.
Масштабы не совпадают, ибо иначе рисунок бы не поместился.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот.
При получаем:
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка 
является точкой максимума функции, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Она положительна при 
и отрицательно при 
или при Значит, функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при 
а точки и 
являются точками перегиба, причем
График функции изображён на рисунке.
Примечание.
Масштабы не совпадают, ибо иначе рисунок бы не поместился.
Наверх