Ре­ше­ние. Под­ста­вим точку по­лу­ча­ем:   — под­хо­дит.

Под­ста­вим точку по­лу­ча­ем:  не опре­де­лен  — не под­хо­дит.

Под­ста­вим точку по­лу­ча­ем:   — не под­хо­дит.

Под­ста­вим точку по­лу­ча­ем:   — не под­хо­дит.

Ответ: а.

Ре­ше­ние. Пря­мая a лежит в плос­ко­сти DD₁C₁, тогда она может пе­ре­се­кать толь­ко грани, ле­жа­щие в этой плос­ко­сти.

Ответ: г.

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ: −7.

Ре­ше­ние. Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния:

Ответ: (0; 0,008].

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что зна­ме­на­тель не может быть от­ри­ца­тель­ным. Най­дем корни чис­ли­те­ля, не забыв про ОДЗ:

Ответ: [0; 25].

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

По усло­вию объем шара в два раза мень­ше объ­е­ма ци­лин­дра, тогда V_шара = 8 см³. Най­дем ра­ди­ус шара:

Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра боль­ше ра­ди­у­са шара (), диа­метр шара мень­ше диа­мет­ра ци­лин­дра (). Сле­до­ва­тель­но, шар по­ме­стит­ся в ци­линдр.

Ответ: по­ме­стит­ся.

Ре­ше­ние. При­ве­дем к од­но­му ос­но­ва­нию:

Ответ: −1.

Ре­ше­ние. Най­дем f'(x) = 6x² − 1. Гра­фик функ­ции пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке с абс­цис­сой, где x₀ = 0. При x = 0 по­лу­ча­ем, что f'(0) = −1. Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Пусть тогда:

Имеем:

За­ме­тим, что пер­вое урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, решим вто­рое:

Ответ:

Ре­ше­ние. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник, при­мем его сто­ро­ну за a. По усло­вию дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°, зна­чит, Тре­уголь­ник AKB  — рав­но­бед­рен­ный (AK  =  BK), тогда Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BKC. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Тогда:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PMC, в ко­то­ром и тогда Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, то H  — центр тре­уголь­ни­ка, от­ку­да

Из тре­уголь­ни­ка MHP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3, тогда:

Вы­со­та ко­ну­са, опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды, равна вы­со­те, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су опи­сан­но­го около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са, где и h  =  3:

Ответ: 72π.