В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 6 см, точки K и P — середины ребер AD и SC соответственно. Через отрезки SK и DP проведены параллельные между собой плоскости. Найдите объем тела, ограниченного двумя данными плоскостями сечений.
Решение. Пусть P1 — середина SB и K1 — середина BC. Поскольку PP1 — средняя линия треугольника SBC, то PP1 параллельна BC и AD и
поэтому
— параллелограмм и, следовательно, KP1 параллельна DP. Значит, плоскость SKP1, она же SKB, — одна из двух указанных плоскостей.
Далее, PK1 — средняя линия треугольника SBC, поэтому PK1 параллельна SB, а поскольку еще и DP параллельна KP1, то плоскости DPK1 и KP1B параллельны. Значит, вторая из указанных плоскостей это DPK1.
Теперь вычислим объемы пирамиды и ее частей.
Треугольники ASC и ADC равны по третьему признаку, поэтому высота пирамиды равна половине диагонали DB. Значит, объем всей пирамиды равен:
![дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка S, ABCD правая круглая скобка умножить на S_ABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DB умножить на 6 в квадрате = 6DB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента AB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 6=36 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/78/78897baf204a1129980c39c5dcd360a6.svg)
![дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка S, ABCD правая круглая скобка умножить на S_ABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DB умножить на 6 в квадрате =](https://reshu.by/formula/svg/e5/e5861db7b43c89fcf4ec95fd69152eb6.svg)
![= 6DB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента AB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 6=36 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/5f/5fae58e0629ba684fc7d37b9bdaf3361.svg)
Далее:
![V_AKBS= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка S, AKB правая круглая скобка умножить на S_AKB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AK умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 3=9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,](https://reshu.by/formula/svg/ba/ba8e8dafd06caa01a8cd637ebb3a46c7.svg)
![V_AKBS= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка S, AKB правая круглая скобка умножить на S_AKB=](https://reshu.by/formula/svg/63/6329bff49da050a7b386ba76f76b0d1b.svg)
![= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AK умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 3=9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,](https://reshu.by/formula/svg/29/29560514d6649cd318542c45f80bc435.svg)
![V_DPK_1C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, DCK_1 правая круглая скобка умножить на S_DCK_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DC умножить на CK_1=](https://reshu.by/formula/svg/a1/a1f744d727dc25727fcbfa6a54a1234f.svg)
![= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 3=3d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка =3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка S, ABCD правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/22/22dcd856943665fa4470b25d6b4705c8.svg)
![V_DPK_1C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, DCK_1 правая круглая скобка умножить на S_DCK_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DC умножить на CK_1=](https://reshu.by/formula/svg/a1/a1f744d727dc25727fcbfa6a54a1234f.svg)
![= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 3=3d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка =](https://reshu.by/formula/svg/18/188671e7a9e9da911414846da0cf8de2.svg)
![=3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка S, ABCD правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/f6/f6c7f731a0fe89ed26a47db49cec45ce.svg)
![V_DPK_1C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, DCK_1 правая круглая скобка умножить на S_DCK_1=](https://reshu.by/formula/svg/f4/f48d52a42e3d1209c1a01e659a8c1002.svg)
![= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DC умножить на CK_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 3=](https://reshu.by/formula/svg/c4/c425375da704d2b1d17d1efeb9cff9d0.svg)
![=3d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка =3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка S, ABCD правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/76/76f82bebe2c965c64b83fa898e89a2ed.svg)
![V_DPK_1C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, DCK_1 правая круглая скобка умножить на S_DCK_1=](https://reshu.by/formula/svg/f4/f48d52a42e3d1209c1a01e659a8c1002.svg)
![= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DC умножить на CK_1=](https://reshu.by/formula/svg/82/829664ca46e7f4f373db8b7e939de808.svg)
![= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 3=3d левая круглая скобка P, ABCD правая круглая скобка =](https://reshu.by/formula/svg/18/188671e7a9e9da911414846da0cf8de2.svg)
![=3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка S, ABCD правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/f6/f6c7f731a0fe89ed26a47db49cec45ce.svg)
Значит, объем интересующей нас части равен:
![V_огранич.=36 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/3d/3dd430e414f19c9c8d12e7605476244f.svg)
Ответ: ![дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/b6/b6b4b56d46855cc3b35d08b5b8e0a9ca.svg)
Ответ: ![дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/b6/b6b4b56d46855cc3b35d08b5b8e0a9ca.svg)