В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Найдите расстояние между диагональю основания AC и медианой DN диагонального сечения SBD, если ребро пирамиды
см.
Решение. Заметим, что AC перпендикулярен BD и AC перпендикулярен SO, где O — центр основания пирамиды. Значит, AC перпендикулярен BSD. Опустим теперь перпендикуляр OT на DN. Он будет лежать в плоскости BCD и потому будет перпендикулярен к AC. Значит, его длина и есть нужное расстояние.
Поскольку все ребра пирамиды равны, треугольники BSD и BAD равны по третьему признаку, следовательно,
и ![SO=AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC.](https://reshu.by/formula/svg/3c/3c0afdabb0ce4b3944a9abb60586aa61.svg)
Пусть H — основание перпендикуляра из точки N на прямую BD. Тогда NH — средняя линия треугольника SBO. Далее,
![BD= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента BA= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =8 см,](https://reshu.by/formula/svg/97/97af78b3b6d09a45242956d88d120749.svg)
тогда
![BO=SO=4 см,](https://reshu.by/formula/svg/b9/b9cbcd480fce02f6881c0628cc238c32.svg)
и
![NH=2 см.](https://reshu.by/formula/svg/bb/bb3561036db99b33d9d7123d77796cd5.svg)
Значит, искомое расстояние равно:
![OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби =](https://reshu.by/formula/svg/d5/d5207d2e5972d1014f7ece33e3f3dcfa.svg)
![= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 8 плюс 32 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.](https://reshu.by/formula/svg/c0/c0188d26d4c33c8ff12e38491689a335.svg)
![OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби =](https://reshu.by/formula/svg/4c/4c86f585315cfc53d29c0df102b1db1b.svg)
![= дробь: числитель: 2 умножить на 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 8 плюс 32 конец аргумента конец дроби =](https://reshu.by/formula/svg/89/892b496b54020514f688e7da6d859c3d.svg)
![= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.](https://reshu.by/formula/svg/6b/6b9af0419a24309f2f66b74e94719326.svg)
Ответ: ![дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.](https://reshu.by/formula/svg/79/7980d322dbace092542a35b0f9180419.svg)
Ответ: ![дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.](https://reshu.by/formula/svg/79/7980d322dbace092542a35b0f9180419.svg)