РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 904 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.10. Правильная треугольная призма, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Задания на 7 баллов

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Расстояние между прямыми AA₁ и B₁C равно $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если длина диагонали боковой грани призмы равна $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ см.

Решение. Пусть M и N  — середины отрезков AA₁ и B₁C соответственно. Докажем, что MN  — общий перпендикуляр к данным двум прямым. Пусть T  — середина BC. Тогда, очевидно, что AM параллельна BB₁ и NT, поскольку NT  — средняя линия в треугольнике B₁BC, тогда

$AM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BB_1=NT,$

поэтому AMNT  — параллелограмм, следовательно, MN параллельна AT. Прямые AT и AA₁ перпендикулярны, поскольку AT лежит в плоскости ABC и плоскость ABC перпендикулярна AA₁. Прямые AT и CB₁ перпендикулярны, поскольку AT перпендикулярна плоскости BCC₁B₁ и CB₁ лежит в плоскости BCC₁B₁.

Значит, $AT = MN = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдем длину AC:

$AC = AT: косинус 30 градусов = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =2.$

Тогда, $CC_1 = корень из: начало аргумента: AC_1 в квадрате минус AC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 5 минус 4 конец аргумента = 1.$ Наконец, площадь боковой поверхности равна

$3S_ACC_1A_1=3 умножить на AC умножить на CC_1 = 3 умножить на 2 умножить на 1 = 6.$

Ответ: 6.

904

Классификатор алгебры: 3.10. Правильная треугольная призма, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Методы алгебры: Теорема Пифагора

2.  Задание № 914 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.13. Прочие прямые призмы, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Задания на 7 баллов

Основание прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁  — прямоугольный треугольник ACB (C  =  90°), острый угол которого равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если расстояние между прямыми AA₁ и B₁C равно 6 см, а радиус окружности, описанной около треугольника B₁BC,  — 5 cм.

Решение. Докажем, что AC  — общий перпендикуляр к данным двум прямым:

AC перпендикулярна AA1, поскольку AC лежит в плоскости ABC и плоскость ABC перпендикулярна AA₁.

AC перпендикулярна CB₁, поскольку AC перпендикулярна плоскости BCC₁B₁, так как AC перпендикулярна BC и AC перпендикулярна CC₁, и CB₁ лежит в плоскости BCC₁B₁. Значит, $AC = CB = 6.$

Треугольник B₁BC  — прямоугольный, поэтому его радиус описанной окружности равен половине его гипотенузы, откуда $B_1C=10.$ Тогда,

$BB_1= корень из: начало аргумента: CB_1 в квадрате минус CB в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 100 минус 36 конец аргумента =8.$

Наконец, площадь боковой поверхности равна:

$CC_1 умножить на P_ABC=8 левая круглая скобка 6 плюс 6 плюс корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс 6 в квадрате конец аргумента правая круглая скобка =8 левая круглая скобка 12 плюс 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка =96 плюс 48 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $96 плюс 48 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

914

$96 плюс 48 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Классификатор алгебры: 3.13. Прочие прямые призмы, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	904	6.
2	914	$96 плюс 48 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$