РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 944 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.16. Цилиндр, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии, Теорема косинусов

Задания на 7 баллов

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 15 см и 9 см, площадь основания 108 см². Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если меньшая его диагональ  — 13 см.

Решение. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его сторон, умноженному на синус угла между ними, получаем, что $108=15 умножить на 9 умножить на синус альфа ,$ откуда

$синус альфа = дробь: числитель: 108, знаменатель: 9 умножить на 15 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $косинус альфа =\pm корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате альфа конец аргумента =\pm корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента =\pm дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Для одного угла параллелограмма следует взять плюс, для другого минус  — они как раз в сумме дают $180 градусов .$

Найдем тогда по теореме косинусов диагонали этого параллелограмма:

$d= корень из: начало аргумента: 9 в квадрате плюс 15 в квадрате \pm 2 умножить на 9 умножить на 15 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 81 плюс 225\pm 162 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 306\pm162 конец аргумента .$ $d= корень из: начало аргумента: 9 в квадрате плюс 15 в квадрате \pm 2 умножить на 9 умножить на 15 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 81 плюс 225\pm 162 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 306\pm162 конец аргумента .$

Значит, одна из его диагоналей равна $корень из: начало аргумента: 468 конец аргумента больше 13,$ а другая $корень из: начало аргумента: 144 конец аргумента =12.$

Все диагонали параллелепипеда являются гипотенузами треугольников, катетами которых будут боковое ребро призмы и одна из диагоналей основания. Обозначим длину бокового ребра за x, тогда $x в квадрате плюс 12 в квадрате = 13 в квадрате ,$ откуда $x в квадрате = 169 минус 144 = 25,$ то есть $x = 5.$ Ясно, что использовать вторую диагональ основания нельзя.

Тогда боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников общей площадью

$S = 2 умножить на 5 умножить на 9 плюс 2 умножить на 5 умножить на 15=10 левая круглая скобка 9 плюс 15 правая круглая скобка =240.$ $S = 2 умножить на 5 умножить на 9 плюс 2 умножить на 5 умножить на 15=$
$=10 левая круглая скобка 9 плюс 15 правая круглая скобка =240.$

Ответ: 240.

944

240.

Классификатор алгебры: 3.16. Цилиндр, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии, Теорема косинусов

2.  Задание № 954 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.16. Цилиндр, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии, Теорема Пифагора

Задания на 7 баллов

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 13 см и 14 cм, площадь основания 168 см². Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если меньшая его диагональ  — 17 см.

Решение. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его сторон, умноженному на синус угла между ними, получаем что $168=13 умножить на 14 умножить на синус альфа ,$ откуда

$синус альфа = дробь: числитель: 168, знаменатель: 13 умножить на 14 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби ,$ $косинус альфа =\pm корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате альфа конец аргумента =\pm корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 144, знаменатель: 169 конец дроби конец аргумента =\pm дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 13.$

Найдем тогда по теореме косинусов диагонали этого параллелограмма:

$d= корень из: начало аргумента: 13 в квадрате плюс 14 в квадрате \pm 2 умножить на 13 умножить на 14 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 13 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 169 плюс 196\pm 140 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 365\pm 140 конец аргумента .$ $d=$
$= корень из: начало аргумента: 13 в квадрате плюс 14 в квадрате \pm 2 умножить на 13 умножить на 14 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 13 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 169 плюс 196\pm 140 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 365\pm 140 конец аргумента .$

Значит, одна из его диагоналей равна $корень из: начало аргумента: 505 конец аргумента больше 17,$ а другая $корень из: начало аргумента: 225 конец аргумента = 15.$

Все диагонали параллелепипеда являются гипотенузами треугольников, катетами которых будут боковое ребро призмы и одна из диагоналей основания. Обозначим длину бокового ребра за x, тогда $x в квадрате плюс 15 в квадрате = 17 в квадрате ,$ откуда $x в квадрате = 289 минус 225 = 64,$ то есть $x=8.$ Ясно, что использовать вторую диагональ основания нельзя.

Тогда боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников общей площадью

$S = 2 умножить на 8 умножить на 13 плюс 2 умножить на 8 умножить на 14=16 левая круглая скобка 13 плюс 14 правая круглая скобка =432.$ $S = 2 умножить на 8 умножить на 13 плюс 2 умножить на 8 умножить на 14=$
$=16 левая круглая скобка 13 плюс 14 правая круглая скобка =432.$

Ответ: 432.

954

432.

Классификатор алгебры: 3.16. Цилиндр, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии, Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	944	240.
2	954	432.