РЕШУ ЦТ

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 967 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.2. Неравенства первой и второй степени относительно логарифмических функций

Задания на 10 баллов

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате минус 20 x плюс 25 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Решение.

Сразу заметим, что

$7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате$ и $левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =1.$

Пусть $a = 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Далее, должны выполняться условия:

$система выражений 4x в квадрате минус 20x плюс 25 больше 0,x в квадрате минус x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате больше 0, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений x не равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , совокупность выражений x меньше минус 1,x больше 2. конец системы . конец совокупности .$

Итак, ОДЗ уравнения: $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2,5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Преобразуем теперь уравнение:

$логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка \abs2x минус 5 \underseta больше 1\mathop равносильно x в квадрате минус x минус 2 больше или равно \abs2x минус 5.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка \abs2x минус 5 \underseta больше 1\mathop равносильно x в квадрате минус x минус 2 больше или равно \abs2x минус 5.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка \abs2x минус 5 \underseta больше 1\mathop равносильно x в квадрате минус x минус 2 больше или равно \abs2x минус 5.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка \abs2x минус 5 \underseta больше 1\mathop равносильно$
$\underseta больше 1\mathop равносильно x в квадрате минус x минус 2 больше или равно \abs2x минус 5.$

Разберем теперь два случая.

При $x больше 2,5$ неравенство принимает вид:

$x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 2x минус 5 равносильно x в квадрате минус 3x плюс 3 больше или равно 0,$

что верно при всех x, поскольку дискриминант уравнения $x в квадрате минус 3x плюс 3 = 0$ отрицателен.

При $x меньше 2,5$ неравенство принимает вид:

$x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 5 минус 2x равносильно x в квадрате плюс x минус 7 больше или равно 0,$

что верно при $,x меньше или равно дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ или $x больше или равно дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ поскольку корни уравнения $x в квадрате плюс x минус 7 = 0$ равны $дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Заметим, что $дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус 1$ и $2 меньше дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше 2,5.$ Поэтому учитывать ОДЗ не потребуется: случай $x = 2,5$ мы сразу даже разбирать не стали.

Осталось выбрать из первого случая $x больше 2,5,$ а из второго $x меньше 2,5$ и объединить полученные ответы.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2,5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 967: 977 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Задание № 977 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.2. Неравенства первой и второй степени относительно логарифмических функций

Задания на 10 баллов

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 9 минус 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 9 x в квадрате минус 24 x плюс 16 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 .$

Решение.

Сразу заметим, что

$9 минус 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента = левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате$ и $левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка =1.$

Пусть $a = 2 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Далее, должны выполняться условия:

$система выражений 9 x в квадрате минус 24 x плюс 16 больше 0, x в квадрате плюс x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате больше 0, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений x не равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , совокупность выражений x меньше минус 2,x больше 1. конец системы . конец совокупности .$

Итак, ОДЗ уравнения: $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Преобразуем теперь уравнение:

$логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка \abs3x минус 4 \underseta больше 1\mathop равносильно x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно \abs3x минус 4.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка \abs3x минус 4 \underseta больше 1\mathop равносильно x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно \abs3x минус 4.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка \abs3x минус 4 \underseta больше 1\mathop равносильно x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно \abs3x минус 4.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка \abs3x минус 4 \underseta больше 1\mathop равносильно$
$\underseta больше 1\mathop равносильно x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно \abs3x минус 4.$

Разберем теперь два случая.

При $x больше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ неравенство принимает вид:

$x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 3x минус 4 равносильно x в квадрате минус 2x плюс 2 больше или равно 0,$

что верно при всех x, поскольку дискриминант уравнения $x в квадрате минус 2x плюс 2 = 0$ отрицателен.

При $x меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ неравенство принимает вид:

$x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 4 минус 3x равносильно x в квадрате плюс 4x минус 6 больше или равно 0,$

что верно при $x меньше или равно минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ или $x больше или равно минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ поскольку корни уравнения $x в квадрате плюс x минус 7 = 0$ равны $минус 1\pm корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Заметим, что $минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента меньше минус 2$ и $1 меньше минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Поэтому учитывать ОДЗ не потребуется: случай $x = 2,5$ мы сразу даже разбирать не стали.

Осталось выбрать из первого случая $x больше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,$ а из второго $x меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ и объединить полученные ответы.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; { минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 967: 977 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе