Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и боковой гранью равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 1 см.
Решение.
Шар с центром в точке O вписан в пирамиду PABC. PM — апофема пирамиды, AM — высота правильного треугольника ABC. Тогда MO — биссектриса угла PMH.
Рассмотрим прямоугольный треугольник PHM. Пусть HM = a, тогда PM = 2a, так как угол HPM равен 30°. Тогда
HO = R = 1 см.
По теореме о биссектрисе треугольника значит, PO = 2 см, тогда PH = 3 см. Отсюда см, а см.
Точка H — центр правильного треугольника ABC, тогда см и см.
Апофема правильной треугольной пирамиды см. Центр вписанного в пирамиду шара отстоит от вершины пирамиды на расстоянии, вдвое больше радиуса шара. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
Шар с центром в точке O вписан в пирамиду PABC. PM — апофема пирамиды, AM — высота правильного треугольника ABC. Тогда MO — биссектриса угла PMH.
Рассмотрим прямоугольный треугольник PHM. см и PO = 2HO.
По теореме о биссектрисе треугольника отсюда см.
Точка H — центр правильного треугольника ABC, тогда см и см.
Найдите объем шара, вписанного в треугольную пирамиду, все ребра которой равны см.
Решение.
Пусть шар с центром в точке О вписан в треугольную пирамиду. Тогда отрезок МО — биссектриса треугольника PMH. Точка H — центр треугольника ABC, тогда
В треугольную пирамиду, все ребра которой равны между собой, вписан шар, радиус которого равен см. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Пусть шар с центром в точке О вписан в треугольную пирамиду. Тогда отрезок МО — биссектриса треугольника PMH. Точка H — центр треугольника ABC, тогда где a — ребро пирамиды. Апофема PM — высота треугольника PBC, значит, По теореме Пифагора в треугольнике PMH:
Воспользуемся теоремой о биссектрисе угла в треугольнике PHM: