Изобразите прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Угол между прямыми AB1 и BC равен:
а) 120°
б) 90°
в) 60°
г) 30°
Решение.
Так как прямые AB1 и BC принадлежат перпендикулярным плоскостям AA1B1 и BB1C, соответственно, то они перпендикулярны. Значит, угол между этими прямыми составляет Таким образом, правильный ответ указан под буквой б).
Изобразите куб KMNPK1M1N1P1. Угол между прямыми M1K1 и KP1 равен:
а) 45°
б) 135°
в) 90°
г) 60°
Решение.
Так как прямые M1K1 и KP1 принадлежат перпендикулярным плоскостям M1KK1 и KPP1, соответственно, то они перпендикулярны. Значит, угол между этими прямыми составляет Таким образом, правильный ответ указан под буквой в).
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка K — центр грани DD1C1C. Найдите угол между прямыми BK и B1D1.
Решение.
Угол между прямыми BK и B1D1 равен углу между прямыми BK и BD.
Треугольник DBC1 равносторонний, так как BD = DC1= BC1 как диагонали граней куба, его углы равны 60°. Так как точка K — середина диагонали DC1, то BK — медиана и биссектриса треугольника DBC1. Тогда угол DBK равен 30°.
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки M, N и K — середины ребер A1B1, AA1 и AD соответственно. Найдите угол между прямыми MN и KN.
Решение.
Через середины рёбер DD1 и D1C1 проведём прямую N1M1. Так как N1M1 || NM, через точку N1 и середину K1 ребра A1D1 проведём прямую N1K1 || NK. Угол K1N1M1 — искомый.
Так как треугольник M1N1K1 равносторонний, то искомый угол равен 60°.