Ре­ше­ние. Мно­же­ством зна­че­ний функ­ции яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

Ответ: а).

Ре­ше­ние. Най­дем длину диа­го­на­ли куба:

Ответ: а).

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние:

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как и то по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний ко­ну­са. Так как Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция AA₁B₁B, в ко­то­рой A₁B₁ = 2r = 10, AB = 2R = 16. Зная пло­щадь тра­пе­ции, най­дем ее вы­со­ту:

Так как тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке A₁AH:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти:

Ответ:

Ре­ше­ние. Об­ласть опре­де­ле­ния дан­ной функ­ции за­да­ет­ся си­сте­мой:

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ни­ем си­сте­мы не­ра­венств яв­ля­ет­ся пе­ре­се­че­ние мно­жеств ре­ше­ний каж­до­го не­ра­вен­ства. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что

Ответ:

Ре­ше­ние. За­да­дим об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции:

Най­дем

Решим урав­не­ние

При­ме­ним метод ин­тер­ва­лов (см. рис.).

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть Имеем:

Таким об­ра­зом, воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство

Вы­ра­же­ния и опре­де­ле­ны при по­ло­жи­тель­ных x. Най­дем корни урав­не­ния

и при­ме­ним метод ин­тер­ва­лов:

По­лу­ча­ем, что

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть шар с цен­тром в точке О впи­сан в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Тогда от­ре­зок МО  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка PMH. Точка H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

Апо­фе­ма PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PBC, по­это­му

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о бис­сек­три­се угла в тре­уголь­ни­ке HPM:

Най­дем объем шара:

Ответ: