Найдите длину линии пересечения двух сфер, радиусы которых равны 4 см и 6 см, а расстояние между их центрами 5 см.
Решение. Пусть O1 и O2 — центры сфер, A — точка, лежащая на линии их пересечения, H — проекция A на прямую O1O2. Тогда треугольник O1O2A имеет стороны 3, 5, 6 и потому определен однозначно, то есть все такие треугольники равны друг другу. Значит, в них во всех высота из вершины A падает в одну и ту же точку H основания O1O2, поэтому они все лежат в одной плоскости, проходящей через H перпендикулярно отрезку O1O2 и на одном и том же расстоянии от точки H, равном высоте этого треугольника. Наоборот, любая точка на данном расстоянии от H в этой плоскости образует треугольник с нужными сторонами, поскольку стороны будут равны
и
Значит, искомая линия — окружность радиуса AH. Осталось вычислить AH. Сделаем это, выразив площадь треугольника по формуле Герона:
![AH= дробь: числитель: 2S_O_1O_2H, знаменатель: O_1O_2 конец дроби = дробь: числитель: 2S_O_1O_2H, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби минус 4 правая круглая скобка конец аргумента =](https://reshu.by/formula/svg/d0/d0b9c6055e9ecad92f44e52522b05454.svg)
![= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/fe/fe37099e177e3e355017c35a780f5fc7.svg)
![AH= дробь: числитель: 2S_O_1O_2H, знаменатель: O_1O_2 конец дроби = дробь: числитель: 2S_O_1O_2H, знаменатель: 5 конец дроби =](https://reshu.by/formula/svg/29/295e731c3a3310855258283d0d824682.svg)
![= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби минус 4 правая круглая скобка конец аргумента =](https://reshu.by/formula/svg/b5/b56809db31dbbbda9deb479b4ba66eab.svg)
![= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .](https://reshu.by/formula/svg/fe/fe37099e177e3e355017c35a780f5fc7.svg)
Значит, длина окружности составляет:
![C = 2 Пи умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента =3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента Пи .](https://reshu.by/formula/svg/ef/ef4d8b8bf56f1691fd3e2818427b9dbf.svg)
Ответ: ![3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента Пи .](https://reshu.by/formula/svg/3c/3ca2fae221b50f39068be70f7e1d4350.svg)
Ответ: ![3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента Пи .](https://reshu.by/formula/svg/3c/3ca2fae221b50f39068be70f7e1d4350.svg)