Всего: 20 1–20
Добавить в вариант
Для функции 
найдите промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы функции (если они существуют).
Найдем производную функции:
Решим уравнение f '(x) = 0:
Функция f(x) возрастает на 
убывает на 
и на 
Точка минимума: 
точка максимума: 
Найдем максимума и минимума функции:
Ответ : промежуток возрастания: 
промежутки убывания: 
максимум функции: 
минимум функции: 
Для функции 
найдите промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы функции (если они существуют).
Найдем производную функции:
Решим уравнение g '(x) = 0:
Функция g(x) возрастает на 
убывает на 
и на 
Точка минимума: 
точка максимума: 
Найдем максимума и минимума функции:
Ответ: промежуток возрастания: 
промежутки убывания: 
максимум функции: 
минимум функции: 
промежутки убывания: максимум функции: минимум функции: Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки минимума и максимума функции 
Вначале найдем область определения функции. Знаменатель оборачивается в ноль при 
значит,
Теперь найдем 
откуда 
и 
Итак, функция возрастает на промежутке 
и на 
а убывает на промежутке 
и на 
(см. рис).
Ответ: функция возрастает на промежутке и на а убывает на промежутке и на 
Максимум и минимум функции соответственно равны и 
и на а убывает на промежутке и на Максимум и минимум функции соответственно равны и Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки минимума и максимума функции 
Вначале найдем область определения функции. Знаменатель оборачивается в ноль при 
значит, 
Теперь найдем
откуда 
и 
Итак, функция возрастает на промежутке 
и на 
а убывает на промежутках 
и на 
(см. изображение).
Ответ: Функция возрастает на промежутке и на а убывает на промежутке и на 
Максимум и минимум функции соответственно равны и
и на а убывает на промежутке и на Максимум и минимум функции соответственно равны и Найдите наименьшее значение функции 
Найдем наименьшее значение функции:
тогда точкой минимума является 
и минимальное значение равно:
Ответ: 2.
Найдите наименьшее значение функции 
Найдем наименьшее значение функции:
тогда точкой минимума является 
и минимальное значение равно:
Ответ: 
Найдите точки минимума и точки максимума функции 
Зададим область определения функции: 
Найдем
Решим уравнение 
Применим метод интервалов (см. рис.).
Таким образом, получаем, что 
Ответ:
Найдите точки минимума и точки максимума функции 
Зададим область определения функции: 
Найдем
Решим уравнение
Применим метод интервалов (см. рис.).
Таким образом, получаем, что 
Ответ:
Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции 
Возьмем производную данной функции:
Очевидно, что первый множитель положителен, иначе изначальная функция не определена. Исследуем теперь знак выражения 
Отсюда видно, что при 
функция возрастает, при 
убывает, при 
имеет минимум, причем
а при 
вообще не определена.
Ответ: при функция возрастает, при убывает, 
функция возрастает, при убывает, Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции 
Возьмем производную данной функции:
Очевидно, что первый множитель положителен, иначе изначальная функция не определена. Исследуем теперь знак выражения
Отсюда видно, что при функция возрастает, при 
убывает, при 
имеет минимум, причем
а при вообще не определена.
Ответ: при функция возрастает, при убывает, 
функция возрастает, при убывает, Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство 
функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При 
получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при 
и отрицательна при 
или 
Значит, функция убывает на промежутке 
возрастает на промежутке 
и снова убывает на промежутке 
Точка 
является точкой минимума функции, а точка 
— точкой максимума, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках 
и 
и отрицателен на промежутках 
и 
Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках 
и 
и выпукла вверх (вогнута) на промежутках 
и 
Точки 
являются точками перегиба, причем:
График функции изображен на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство
функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательно при или Значит, функция убывает на промежутке 
возрастает на промежутке и снова убывает на промежутке Точка является точкой минимума функции, а точка — точкой максимума, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках
и 
и отрицателен на промежутках 
и 
Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках и и выпукла вверх (вогнута) на промежутках и Точки 
являются точками перегиба, причем
График изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех 
Точек разрыва нет, но есть вертикальная асимптота при поскольку 
При 
получаем 
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот не будет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке Точка является точкой минимума функции, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Вторая производная больше нуля при всех допустимых x, значит, функция выпукла вверх.
График функции изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех
Точек разрыва нет, но есть вертикальная асимптота при поскольку 
При получаем 
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот не будет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при и отрицательна при Значит, функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке 
Точка является точкой минимума функции, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Вторая производная положительна при всех допустимых x, значит, функция выпукла вверх.
График изображён на рисунке.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [1; 6].
Возьмем производную данной функции:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
значит, функция 
убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наименьшее значение на данном отрезке она принимает в точке 
и равно:
Ответ: 1.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке [−5; −1].
Возьмем производную данной функции:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
значит, функция убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наибольшее значение на данном отрезке она принимает в точке 
и равно:
Ответ: −2.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот.
При получаем:
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка 
является точкой максимума функции, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Возьмем её вторую производную:
Она положительна при 
и отрицательна при 
или при 
Значит, функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при 
а точки 
и 
являются точками перегиба, причем
График функции изображён на рисунке.
Примечание.
Масштабы не совпадают, ибо иначе рисунок бы не поместился.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот.
При получаем:
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка является точкой максимума функции, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Она положительна при 
и отрицательно при 
или при Значит, функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при 
а точки и 
являются точками перегиба, причем
График функции изображён на рисунке.
Примечание.
Масштабы не совпадают, ибо иначе рисунок бы не поместился.
Исследуйте функцию 
на монотонность и экстремумы.
Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, возьмем производную данной функции, определенной при Получим:
Знаменатель всегда положителен, а числитель положителен при условии 
то есть 
и отрицателен при 
Значит, изначальная функция возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
поэтому 
— точка минимума, причём
Ответ: функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
— точка минимума, 
и возрастает на промежутке — точка минимума, Исследуйте функцию 
на монотонность и экстремумы.
Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, возьмем производную данной функции, определенной при Получим:
Знаменатель всегда положителен, а числитель положителен при условии 
то есть 
и отрицателен при 
Значит, изначальная функция возрастает на промежутке
и убывает на промежутке 
поэтому 
— точка минимума, причём
Ответ: функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке
— точка минимума, 
и возрастает на промежутке — точка минимума, Наверх