Найдём объёмы шаров:

Найдём объём V вы­плав­лен­но­го из них куба:

Найдём a ребро куба:

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти S куба:

Ответ:

Найдём объёмы кубов:

Найдём объём V вы­плав­лен­но­го из них шара:

Найдём R ра­ди­ус шара:

Пло­щадь по­верх­но­сти S куба:

Ответ:

При­мем длину ребра куба за Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков PKM и PAC сле­ду­ет, что

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — квад­рат, от­ку­да ана­ло­гич­но Из усло­вия сле­до­ва­тель­но, Под­ста­вим дан­ные в от­но­ше­ния, по­лу­чен­ные из по­до­бия, и най­дем a:

Ответ:

При­мем длину ребра куба за Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков PKM и PAC сле­ду­ет, что

Ответ:

Угол B₁C₁D равен 90°, по­это­му тре­уголь­ник B₁C₁D  — пря­мо­уголь­ный, его ги­по­те­ну­за  — DB₁.

Ответ: б).

Тре­уголь­ник DA₁C  — пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой CA₁.

Ответ: г).

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим тре­уголь­ник ABS и впи­сан­ное в него диа­го­наль­ное се­че­ние куба  — пря­мо­уголь­ник KK₁M₁M. По усло­вию AB = BS, тогда тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. Пусть OB = r, тогда BS = l = 2r. Зная, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна 72 най­дем r:

Тогда AB = SB = 12. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра SO = 6 Пусть MM₁ = x, тогда MK = x. Имеем:

Тре­уголь­ник SO₁K₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку SOB по двум углам, тогда:

Ответ:

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим тре­уголь­ник ABS и впи­сан­ное в него диа­го­наль­ное се­че­ние куба  — пря­мо­уголь­ник KK₁M₁M. По усло­вию AS = BS и угол SBO равен 60°, то тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. Пусть OB = r, тогда BS = l = 2r. Зная, что пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна най­дем r:

Тогда AB = SB = 8. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра SO = 4 Пусть MM₁ = x, тогда MK = x. Имеем:

Тре­уголь­ник SO₁K₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку SOB по двум углам, тогда:

Ответ:

Так как пря­мые M₁K₁ и KP₁ при­над­ле­жат пер­пен­ди­ку­ляр­ным плос­ко­стям M₁KK₁ и KPP₁, со­от­вет­ствен­но, то они пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Зна­чит, угол между этими пря­мы­ми со­став­ля­ет Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Ответ: в).

Пя­ти­уголь­ник AKMHP  — ис­ко­мое се­че­ние, при­чем Так как диа­го­наль куба равна то его сто­ро­на равна 2. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра от­ре­зок а от­рез­ки KM и HP равны Ана­ло­гич­но от­рез­ки AK и AP равны тогда пе­ри­метр се­че­ния равен:

Ответ:

Пя­ти­уголь­ник DHKMPC  — ис­ко­мое се­че­ние, при­чем Так как диа­го­наль куба равна то его сто­ро­на равна 3. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра от­ре­зок а от­рез­ки KH и MP равны Ана­ло­гич­но от­рез­ки HD и PD равны тогда пе­ри­метр се­че­ния равен:

Ответ:

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — вы­со­та ци­лин­дра, тогда ра­ди­у­са ци­лин­дра равен Вы­ра­зим вы­со­ту через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: шар.

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, тогда ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­ну­са равны со­от­вет­ствен­но и Вы­ра­зим об­ра­зу­ю­щую через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: конус.

Че­ты­рех­уголь­ник BB₁D₁D яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком с не­рав­ны­ми смеж­ны­ми сто­ро­на­ми.

Ответ: г).

Че­ты­рех­уголь­ник   — пря­мо­уголь­ник с не­рав­ны­ми смеж­ны­ми сто­ро­на­ми.

Ответ: г).

Тра­пе­ция AD₁PM  — ис­ко­мое се­че­ние, где как диа­го­наль квад­ра­та AA₁D₁D. Осталь­ные сто­ро­ны най­дем, при­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра для со­от­вет­ству­ю­щих пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков:

Таким об­ра­зом, AD₁PM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту PH, тогда тре­уголь­ник PHD₁  — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в нем имеем:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 18 см².

Тра­пе­ция CD₁PN  — ис­ко­мое се­че­ние, где как диа­го­наль квад­ра­та AA₁D₁D. Осталь­ные сто­ро­ны най­дем, при­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра для со­от­вет­ству­ю­щих пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков:

Таким об­ра­зом, CD₁PN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту PH, тогда тре­уголь­ник PHD₁  — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в нем имеем:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 72 см².

Скре­щи­ва­ю­щи­е­ся пря­мые  — пря­мые, ко­то­рые не лежат в одной плос­ко­сти. С пря­мой B₁C₁ скре­щи­ва­ют­ся пря­мые AA₁, AB, DD₁, DC.

Ответ: AA₁, AB, DD₁, DC.

Скре­щи­ва­ю­щи­е­ся пря­мые  — пря­мые, ко­то­рые не лежат в одной плос­ко­сти. С пря­мой DC скре­щи­ва­ют­ся пря­мые AA₁, BB₁, A₁D₁, B₁C₁.

Ответ: AA₁, BB₁, A₁D₁, B₁C₁.

Угол между пря­мы­ми BK и B₁D₁ равен углу между пря­мы­ми BK и BD.

Тре­уголь­ник DBC₁ рав­но­сто­рон­ний, так как BD = DC₁= BC₁ как диа­го­на­ли гра­ней куба, его углы равны 60°. Так как точка K  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли DC₁, то BK  — ме­ди­а­на и бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка DBC₁. Тогда угол DBK равен 30°.

Ответ: 30°.